\chapter{傅里叶级数的原始推导过程（1807）}
	
	\begin{abstract}
		本文详细分析了约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）在1807年提出的热传导理论中首次推导傅里叶级数的过程。通过研究其原始手稿和《热的解析理论》中的关键步骤，本文展示了傅里叶如何将周期函数表示为三角级数的和，并讨论了这一发现的数学意义和历史影响。文中特别关注了傅里叶对弦振动问题和热方程求解的原创性贡献。
		
		\textbf{关键词：} 傅里叶级数，热传导，三角级数，数学史
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1807年，法国数学家约瑟夫·傅里叶在研究热传导问题时，提出了将任意周期函数表示为正弦和余弦函数无穷级数的方法。这一革命性的思想最初出现在他向巴黎科学院提交的论文《热的传播理论》中，后来在1822年的著作《热的解析理论》中得到完善\cite{fourier1822}。
	
	尽管当时拉格朗日等数学家对傅里叶的方法持怀疑态度，但这一工具最终成为数学物理和工程学中最重要的分析技术之一。本文将重现傅里叶原始推导的关键步骤。
	
	\section{傅里叶的原始问题}
	傅里叶研究的热传导方程可表示为：
	\begin{equation}
		\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
	\end{equation}
	其中$u(x,t)$表示温度分布。对于长度为$L$的均匀细杆，边界条件为$u(0,t)=u(L,t)=0$。
	
	傅里叶假设解可以表示为：
	\begin{equation}
		u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\alpha(n\pi/L)^2t}
	\end{equation}
	
	\section{级数展开的推导}
	\subsection{关键步骤}
	傅里叶的核心思想是将初始温度分布$f(x)$表示为：
	\begin{equation}
		f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
	\end{equation}
	
	为了确定系数$b_n$，他采用了以下方法：
	
	1. 将等式两边乘以$\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)$
	
	2. 在区间$[0,L]$上积分
	
	3. 利用三角函数的正交性：
	\begin{equation}
		\int_0^L \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = 
		\begin{cases}
			0 & \text{如果 } n \neq m \\
			L/2 & \text{如果 } n = m
		\end{cases}
	\end{equation}
	
	由此得到系数公式：
	\begin{equation}
		b_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx
	\end{equation}
	
	\subsection{一般周期函数的情况}
	对于周期为$2\pi$的函数$f(x)$，傅里叶推导出更一般的表达式：
	\begin{equation}
		f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right)
	\end{equation}
	其中系数由下式确定：
	\begin{align}
		a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx \\
		b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx
	\end{align}
	
	\section{数学意义与影响}
	傅里叶的推导突破了18世纪对函数概念的局限：
	\begin{itemize}
		\item 证明了非解析函数（甚至不连续函数）也可以用三角级数表示
		\item 引发了对函数概念和收敛性的严格研究
		\item 为泛函分析和希尔伯特空间理论奠定了基础
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	傅里叶1807年的工作开创了数学分析的新纪元。尽管当时缺乏严格的证明，但他的直觉和物理洞察力导致了数学物理方法的重大突破。现代研究表明，傅里叶级数在$L^2$空间中的收敛性为这一理论提供了坚实的数学基础。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{fourier1822} 
		Fourier, J. (1822). 
		\textit{Théorie analytique de la chaleur}. 
		Paris: Firmin Didot.
		
		\bibitem{grattan1993}
		Grattan-Guinness, I. (1993). 
		\textit{The Fourier Transform and Its Applications}. 
		Boston: Birkhäuser.
		
		\bibitem{stillwell2005}
		Stillwell, J. (2005). 
		\textit{Mathematics and Its History} (2nd ed.). 
		New York: Springer.
	\end{thebibliography}
	